생물학적 시스템에 대한 많은 모델은 미분 방정식 집합으로 표현되는데, 이는 주로 생물공정의 시간 의존적 특성으로 인해 발생합니다.
물이 일정한 속도 F(m3/s)로 흐르는 탱크가 있습니다.
임의의 시간 t에서 탱크에 있는 물의 부피는 V(m3)이고 물의 밀도는 𝜌(kg/m3)입니다.
시간 간격 Δt(s) 동안 물의 질량 𝜌 FΔt(kg)가 탱크로 흘러 들어갑니다.
탱크에서 물이 빠져나가지 않는 한 탱크에 있는 물의 질량은 다음과 같이 증가합니다.
즉, 𝜌 FΔt만큼 증가하여 𝜌 FΔt인 ΔV가 증가합니다.
탱크에 축적된 질량을 탱크에 유입된 질량과 동일시합니다.
시간 간격 Δt 동안 탱크에 유입된 질량과 동일시하면 다음과 같습니다.
𝜌ΔV = 𝜌 FΔt
만약 𝜌가 상수라면, (탱크에 유입되는 물 혹은 액체의 밀도를 아는 경우)
이를 매우 작은 미분 시간 간격(Δt → dt)에 적용하고 Δ 부호를 미분 연산자 "d"로 대체하면 다음과 같은 간단한 1차 미분 방정식이 생성됩니다.
이 방정식의 해는 다음 질문에 대한 답을 제시하고 있습니다.
- 시간이 지남에 따라 부피는 어떻게 변하는가? 즉, 독립변수 t에 대해 종속변수 V는 어떻게 변화하는가?
또는 상수 F의 경우, (탱크에 유입되는 물의 속도를 아는 경우)
부피의 총 변화량은 탱크에 추가된 물의 총 부피와 같습니다.
적분 상수는 탱크에 있는 물의 초기부피로 t=0일 때, V0입니다.
t에 대한 V의 변화 기울기인 dV/dt는 상수입니다.
미분 방정식에서 기울기가 F와 같다는 것을 알 수 있습니다.
위의 식은 아래 그림처럼 나타낼 수 있습니다.
종속 변수는 초기 조건인 V0에서 시작하며 기울기는 항상 F입니다.
F가 0이 되어 이 값으로 유지되면 V와 t를 나타내는 곡선의 기울기 또한 0이 됩니다.
즉, 탱크의 부피는 일정하게 유지되며 F의 값이 0으로 유지되는 한 변하지 않습니다.
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